Эссе

В1637 году Пьер Ферма на полях арифметики Диофанта написал: «Невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки ». Это и есть знаменитая Великая теорема Ферма над которой не одно столетие бились математики.


Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интенсивно развивается.

Начиная с конца XVII века началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством “Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла тысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства или опровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось продвинуться вперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных значений показателя n.

Первый серьёзный прорыв был сделан Леонардом Эйлером. Он показал, что случай п = 4 уникален. Это единственный частный вариант "Великой теоремы", когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже при п = 3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал теорему для случая п = 3, рассматривая комплексные числа. Однако, его доказательство было дефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида. В частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые множители.

Чтобы устранить пробелы в доказательстве Эйлера, понадобились принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программы начал Карл Фридрих Гаусс, которому принадлежит первое, абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3.

Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно ,в атмосфере острого соперничества два француза: Петер Густав Лежён Дирихле(1805- 1859) и Андриен Мари Лежандр(1752- 1833)

В 1839 г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателя n=7. Это удалось сделать Габриэлю Ламе - французскому математику, физику, инженеру (1795-1870).

Над решением проблемы Ферма работал выдающийся немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в специальном разделе алгебры под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых показателей 2<n <100. Теории Куммера берет начало в знаменитой теории легендарного и гениального романтика-революционера Эвариста Галуа(1811- 1832)

После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, выработал алгоритм , позволяющий проверять истинность теоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретного n свелось к вычислительным проблемам, с которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате к концу семидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана для всех n <100000 . Это очень большое число, но это еще не все значенияn , а значит “Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута до конца.

Величайшие умы математики считали, что элементарного доказательства теоремы Ферма, во-первых, не существует, а,во-вторых, оно не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишь закроет проблему Ферма. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что при попытках ее доказательства были найдены мощные средства, приведшие к созданию новых обширных разделов математики.

Но, не смотря на это, теорема продолжает привлекать внимание людей. Притягательная сила этой теоремы очевидна: нет другого такого математического утверждения, обладающего такой простотой формулировкой и кажущейся доступной в своем доказательстве. «Теорема Ферма» привлекательна своей «статусностью» в глазах математической общественности. А также стимулом для работы над доказательством теоремы служила премия Вольфскеля, правда, небольшая по сравнению с Нобелевской премией, так как во время первой мировой войны премия Вольфскеля успела обесцениться.

Американский математик Рем Мерти оценивает актуальность теоремы так: «Большая теорема Ферма занимает особое место в истории цивилизации. Своей внешней простотой она всегда притягивала к себе как любителей, так и профессионалов… Все выглядит так, как если бы было задумано неким высшим разумом, который в течение веков развивал различные направления мысли лишь затем, чтобы потом воссоединить их в один захватывающий сплав для решения Большой теоремы Ферма. Ни один человек не может претендовать на то, чтобы быть экспертом во всех идеях, использованных в этом «чудесном» доказательстве. В эпоху всеобщей специализации, когда каждый из нас знает «все больше и больше о все меньшем и меньшем», совершенно необходимо иметь обзор этого шедевра…»

В 1995 году теорема была доказана английским математиком ЭндрюУайлсом. Уайлс основывал своё доказательство на гипотезе Таниямы-Симуры. В качестве мощного инструмента достижения цели Уайлс взял теорию Ивасавы, имеющую глубокие исторические корни. Эта теория обобщала теорию Куммера. 23-го июня 1993-го года, Уайлс объявляет о доказательстве великой теоремы Ферма. Доказательство насыщено целым букетом новых идей, таких как новый подход к гипотезе Таниямы-Шимуры-Вейля, далеко продвинутой теорииИвасавы, новая «теория контроля деформаций» представлений Галуа. Однако, в процессе общения с рецензентами Эндрю Уайлс обнаруживает у себя пробел в доказательстве. Трещину дал изобретенный им же самим механизм «контроля деформаций» - несущая конструкция доказательства. Пробел обнаружился через пару месяцев. В результате «построчного» объяснения Уайлсом своего доказательства коллеге по кафедре в Принстоне Нику Кацу. Ник Кац, находясь уже давно в дружеских отношениях с Эндрю, рекомендует ему сотрудничество с молодым перспективным английским математиком Ричардом Тейлором. Проходит еще один год напряженной работы, связанный с изучением дополнительного орудия атаки на неподдающуюся проблему - так называемых эйлеровских систем, независимо открытых в 80-е годы нашим соотечественником Виктором Колывагиным. И наконец, ему удалось решить её.

В России было много энтузиастов «ферматистов», которые пытались решить теорему Ферма. Например,ташкентский математик Борис Пономарев объявил, что нашел «простое оригинальное доказательство» Великой теоремы Ферма. Учёный из Абхазии Расим Камлия тоже утверждал, что нашёл доказательство теоремы. Но их доказательства из-за содержания ошибок дают неверные решения. Некоторым российским ученым удаётся «засветить» свои труды в престижных научных изданиях (Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославе под названием «Методика познания «истины». Доказательство Великой теоремы Ферма»(47 стр. 5000 экз., Верхневолжское книжное издательство, 1975), но это только легкое прикосновение к доказательству Великой теоремы.

Решение Теоремы Ферма требует больших математических знаний и владение сильными методами решения. И все же ближе всех из российских ученых к раскрытию тайны теоремы стоял наш соотечественник Виктор Колывагин, труды которого помогли Эндрю Уайлсу в его доказательстве Великой теоремы Ферма.

Comment Stream