Роль в истории математики теоремы Ферма

В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю ее историю. 19-го сентября 1994 года была доказана теорема, сформулированная Пьером де Ферма (1601-1665) более 350-ти лет назад в 1637 году. Она известна также как «последняя теорема Ферма» или как «большая теорема Ферма», поскольку есть еще так называемая "малая теорема Ферма".

История Великой теоремы Ферма неразрывно связана с историей математики, так как затрагивает все основные темы теории чисел. Она открывает уникальную возможность понять, что движет математикой и что дает вдохновение математикам, — а это, возможно, даже более важно. Великая теорема Ферма составляет центральное ядро захватывающей истории о смелости, мошенничестве, хитрости и трагедии, — истории, которая так или иначе затрагивает всех величайших героев математики.

Эту теорему Ферма оставил недоказанной. И не только эту: Ферма формулировал много интересных теорем, но доказательства их не оставил. Часто он умышленно посылал теоремы своим знакомым без доказательства, тем самым предлагая им трудную задачу для решения. Современники часто с ними не справлялись, но в течение XVIII и XIX вв. все эти теоремы были доказаны.

Одна из них — только одна из всего богатого наследия Ферма — оказалась неверной: один раз и этому гению изменило математическое чутьё.

На теореме, которая была написана на полях книги Диофанта, лучшие математики пробовали свои силы.

Эйлер дал доказательства того, что уравнения

x3 + y3 = z3

и

x4 + y4 = z4

неразрешимы в целых числах, т. е. доказал теорему Ферма для n = 3 и n = 4.

Лежандр и Дирихле доказали её для n = 5, Ламэ — для n = 7.

Куммеру с помощью трудной и тонкой теории удалось показать, что теорема Ферма может быть неверна лишь для некоторых исключительных значений n. Так, например, он доказал, что она верна для всех n, меньших 100. Но полного доказательства её справедливости он всё же не дал.

Окончательно теорема Ферма доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Теорема эта сама по себе не имеет большого принципиального значения. Но она породила огромную литературу, привела к открытию новых теорий и методов решения задач и вообще сыграла такую роль в развитии математики, что ей присвоили наименование Великой теоремы Ферма.

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками». Ферматисты зачастую не владеют основами математической культуры и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

И хотя нематематикам могло бы показаться, что положение с доказательством Великой теоремы Ферма, наконец, стало лучше, математическое сообщество сознавало, что успех носит чисто косметический характер. Даже если бы суперкомпьютеры провели десятилетия в непрерывных вычислениях, доказывая Великую теорему Ферма при значениях n одно за другим, то и тогда им не удалось бы доказать теорему для каждого значения n до бесконечности, и поэтому никто не мог бы утверждать, что Великая теорема Ферма доказана во всей общности. Ведь даже если бы теорему удалось доказать для n до миллиарда, то и тогда не было бы никаких причин, по которым она должна была бы быть верна для n, равного миллиарду плюс один. Если бы теорему удалось доказать для n до триллиона, то нет причин, по которым она должна была бы быть верна для n, равного триллиону плюс один, и т.д. до бесконечности. Бесконечность недостижима за счет одной лишь грубой силы — перемалывания чисел с помощью компьютера.

Великая теорема Ферма — задача невероятно трудная, и тем не менее ее можно сформулировать так, что она станет понятной даже школьнику. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто и определенно и оставалась нерешенной так долго.

Comment Stream